Query Optimization

SQL 语句让我们能够描述想要获取的数据，而 DBMS 负责来根据用户的需求来制定高效的查询计划。不同的查询计划的效率可能出现多个数量级的差别，如 Join Algorithms 一节中的 Simple Nested Loop Join 与 Hash Join 的时间对比 (1.3 hours vs. 0.45 seconds)。

Query Optimizer 第一次出现在 IBM System R，那时人们认为 DBMS 指定的查询计划永远无法比人类指定的更好。System R 的 optimizer 中的一些理念至今仍在使用。

Query Optimization Techniques

• Heuristics/Rules

  • Rewrite the query to remove stupid/inefficient things

  • Does not require a cost model

• Cost-based Search

  • Use a cost model to evaluate multiple equivalent plans and pick the one with the lowest cost

Query Planning Overview

这里的 Rewriter 负责 Heuristics/Rules，Optimizer 则负责 Cost-based Search。

Query Rewriting

如果两个关系代数表达式 (Relational Algebra Expressions) 如果能产生相同的 tuple 集合，我们就称二者等价。DBMS 可以通过一些 Heuristics/Rules 来将关系几何表达式转化成成本更低的等价表达式，从而达到查询优化的目的。这些规则通常试用于所有查询，如：

• Predicate Pushdown

• Projections Pushdown

Predicate Pushdown

Predicate 通常有很高的选择性，可以过滤掉许多无用的数据。将 Predicate 推到查询计划的底部，可以在查询开始时就更多地过滤数据，举例如下：

核心思想如下：

• 越早过滤越多数据越好

• 重排 predicates，使得选择性大的排前面

• 将复杂的 predicate 拆分，然后往下压，如 X=Y AND Y=3 可以修改成 X=3 AND Y=3

Projections Pushdown

本方案对列存储数据库不适用。在行存储数据库中，越早过滤掉不用的字段越好，因此将 Projections 操作往查询计划底部推也能够缩小中间结果占用的空间大小，举例如下：

Cost-based Search

除了 Predicates 和 Projections 以外，许多操作没有通用的规则，如 Join：Join 操作既符合交换律又符合结合律，等价关系代数表达式数量庞大，这时候就需要一些成本估算技术，将过滤性大的表作为 Outer Table，小的作为 Inner Table，从而达到查询优化的目的。

Cost Estimation

一个查询需要花费多长时间，取决于许多因素

• CPU: Small cost; tough to estimate

• Disk: #block transfers

• Memory: Amount of DRAM used

• Network: #messages

但本质上取决于：整个查询过程需要读入和写出多少 tuples

因此 DBMS 需要保存每个 table 的一些统计信息，如 attributes、indexes 等信息，有助于估计查询成本。值得一提的是，不同的 DBMS 的搜集、更新统计信息的策略不同。

Statistics

通常，DBMS 对任意的 table R，都保存着以下信息：

• $N_R$ ：R 中 tuples 的数量
• $V(A, R)$ ：R 中 A 属性的不同取值 (distinct values) 个数
• $A_{max}, A_{min}$ ：A 属性取值的最大和最小值

利用上面两条数据，可以得到 selection cardinality，即 R 中 A 属性下每个值的平均记录个数：

$$SC(A, R) = N_R / \ V(A, R)$$

需要注意的是，这种估计假设 R 中所有数据在 A 属性下均匀分布 (data uniformity)。

利用以上信息和假设，DBMS 可以估计不同 predicates 的 selectivity：

• Equality

• Range

• Negation

• Conjunction

• Disjunction

Equality Predicate

SELECT * FROM people WHERE age = 2;

设 people 表中有 5 条个人信息，即 $N_R = 5$ 所有信息中的 age 有 5 个取值，即 $V(age, people) = 5$：

$$sel(A=constant) = SC(P) / V(A, R) = \frac{1}{5}$$

Range Predicate

SELECT * FROM people WHERE age >= 2;

可以利用 $A_{max}, A_{min}$ 来估计：

$$sel(A>= a) = (A_{max}-a)/(A_{max}-A_{min})$$

Negation Query

SELECT * FROM people WHERE age != 2;

利用 equality query 可以反向推导出 negation query 的情况：

$$sel(not \ P) = 1 - sel(P) = 1 - SC(age=2) = \frac{4}{5}$$

实际上这里所谓的 Selectivity 就是基于 uniformly distribution 假设下的 Probability。

Conjunction Query

SELECT * FROM people
 WHERE age = 2
   AND name LIKE 'A%';

若假设两个 predicates 之间相互独立，则可以推导出：

$$sel(P1 \wedge P2) = sel(P1)\bullet sel(P2)$$

其韦恩图如下所示：

Disjunction Query

SELECT * FROM people
 WHERE age = 2
    OR name LIKE 'A%';

若假设两个 predicates 之间相互独立，则可以推导出：

$$sel(P1 \vee P2) = sel(P1) + sel(P2) - sel(P1 \wedge P2) = sel(P1) + sel(P2) - sel(P1)\bullet sel(P2)$$

其韦恩图如下所示：

Joins

Result Size Estimation for Joins

考虑最通用的情况：假设 $R_{cols} \cap S_{cols} = \{A\}$ ，其中 A 不是 R 或 S 的 key，可以从两个方向思考：

• 对 R 中的每个 tuple，找到 S 中相应的 tuples： $estSize \approx N_{R} \bullet N_{S} / V(A, S)$
• 对 S 中的每个 tuple，找到 R 中相应的 tuples： $estSize \approx N_{R} \bullet N_{S} / V(A, R)$

综合两个方向，取小的：

$$estSize \approx N_R \bullet N_S / max(\{V(A, S), V(A, R)\})$$

Samling

现代 DBMSs 也会使用采样技术来降低成本估计本身的成本，比如面对如下查询：

SELECT AVG(age)
  FROM people
 WHERE age > 50;

我们可以等间隔从表中对数据采样：

然后再估计：

当然，为了避免重复采样，DMBS 会保存一份采样表，待 table 的变动较大时，再更新采样表。