Self-Balancing Tree

提纲：

AVL Tree
Red-black Tree
B Tree
B+ Tree

AVL Tree

AVL Tree 是一种自平衡二叉搜索树（self-balancing BST)，数中任意节点的左子树与右子树的高度差小于或等于 1，举例如下：

返例如下：

图中节点 8 的左子树高度为 3，右子树高度为 1，差为 2。

AVL 提出的原因在于解决普通二叉树可能出现的降格问题，保证在二叉树中的搜索、插入、删除操作的复杂度都能控制在 $O(logn)$ 的范围内。

Operations

Insertion
Deletion

Insertion

每次插入新节点，先按普通二叉树的 insertion 方式插入，若树中所有节点都满足 AVL Tree 的规定，则插入完毕；若树中有节点不满足 AVL Tree 的规定，则根据情况作出相应的调整。可能出现的情况有 4 种：

i) left - left：

ii) left - right:

iii) right - right:

iv) right - left:

代码实现如下：

AVL.py

class TreeNode(object):
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None
        self.height = 1


class AVLTree(object):
    def insert(self, root, key):
        # Step 1 - Perform normal BST
        if not root:
            return TreeNode(key)
        elif key < root.val:
            root.left = self.insert(root.left, key)
        else:
            root.right = self.insert(root.right, key)
        
        # Step 2 - Update the height of the ancestor node
        root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),
                              self.getHeight(root.right))
        # Step 3 - Get the balance factor
        balance = self.getBalance(root)
        # Step 4 - If the node is unbalanced,
        # then try out the 4 cases
        
        # Case 1 - Left Left
        if balance > 1 and key < root.left.val:
            return self.rightRotate(root)
        # Case 2 - Right Right
        if balance < -1 and key > root.right.val:
            return self.leftRotate(root)
        # Case 3 - Left Right
        if balance > 1 and key > root.right.val:
            root.left = self.leftRotate(root.left)
            return self.rightRotate(root)
        # Case 4 - Right Left
        if balance < -1 and key < root.right.val:
            self.right = self.rightRotate(root.right)
            return self.leftRotate(root)
        return root
    
    def leftRotate(self, z):
        y = z.right
        T = y.left
        
        y.left = z
        z.right = T
        # Update heights
        z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),
                           self.getHeight(z.right))
        y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),
                           self.getHeight(y.right))
        return y
    
    def rightRotate(self, z):
        y = z.left
        T = y.right
        
        y.right = z
        z.left = T
        
        # Update heights
        z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),
                           self.getHeight(z.right))
        y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),
                           self.getHeight(y.right))
        return y
        
    def getHeight(self, root):
        if not root:
            return 0
        return root.height
    
    def getBalance(self, root):
        if not root:
            return 0
        return self.getHeight(root.left) - self.getHeight(root.right)

Deletion

每次删除节点，先按普通二叉树的 deletion 方式删除，若树中所有节点都满足 AVL Tree 的规定，则删除完毕；若树中有节点不满足 AVL Tree 的规定，则根据情况作出相应的调整。可能出现的情况有 4 种，与 insertion 中的 4 种情况相同，代码实现如下：

class AVLTree(object):
    def delete(self, root, key):
        # Step 1 - Perform standard BST delete
        if not root:
            return root
        elif key < root.val:
            root.left = self.delete(root.left, key)
        elif key > root.val:
            root.right = self.delete(root.right, key)
        else:
            if root.left is None:
                tmp = root.right
                root = None
                return tmp
            elif root.right is None:
                tmp = root.left
                root = None
                return tmp
            tmp = self.getMinValueNode(root.right)
            root.val = tmp.val
            root.right = self.delete(root.right, tmp.val)
        # If the tree has only one node, simply return it
        if root is None:
            return root
        
        # Step 2 - Update the height of the ancestor node
        root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),
                              self.getHeight(root.right))
        
        # Step 3 - Get the balance factor
        balance = self.getBalance(root)
        
        # Step 4 - If the node is unbalanced,  
        # then try out the 4 cases 
        # Case 1 - Left Left 
        if balance > 1 and self.getBalance(root.left) >= 0: 
            return self.rightRotate(root) 
  
        # Case 2 - Right Right 
        if balance < -1 and self.getBalance(root.right) <= 0: 
            return self.leftRotate(root) 
  
        # Case 3 - Left Right 
        if balance > 1 and self.getBalance(root.left) < 0: 
            root.left = self.leftRotate(root.left) 
            return self.rightRotate(root) 
  
        # Case 4 - Right Left 
        if balance < -1 and self.getBalance(root.right) > 0: 
            root.right = self.rightRotate(root.right) 
            return self.leftRotate(root) 
  
        return root

Red-Black Tree

Red-Black Tree 与 AVL 一样是自平衡二叉搜索树（self-balancing BST），它的结构要求：

每个 node 都有一种颜色，红或者黑
root node 永远是黑色
不能出现相邻的红色 nodes，即一个红色 node 的 parent 和 child 都必须是黑色
从任意 node 出发到所有 leaf node 的路径上包含的黑色 nodes 数量相等

一棵典型的 Red-Black Tree 举例如下：

Red-Black Tree 提出的原因与 AVL Tree 相同，都在于解决普通二叉树可能出现的降格问题，保证在二叉树中的搜索、插入、删除操作的复杂度都能控制在 $O(logn)$ 的范围内。

它与 AVL Tree 相比：

AVL Tree 在 insert 和 delete 操作中会出现更多的 rotations，因此如果应用的 insert 和 delete 操作频繁，则 Red-Black Tree 更合适；若应用的 search 操作较多，insert 和 delete 操作较少，则 AVL Tree 更合适。

值得注意的是：

一棵只含黑色 nodes 的树有可能是 Red-Black Tree，但它必须是完美平衡树（Perfect Balanced Tree）
存在一棵 Red-Black Tree 不满足 AVL Tree 的性质，如上图中的树