Skip Lists

简介

Skip Lists 是一种随机数据结构（Randomized Data Structure），它是 Set (Ordered Set) 的一种实现。它的各操作复杂度如下表所示：

Operation Name	Time Complexity	Space Complexity
find-key(k)	$O(lgn)$	$O(1)$
iter()	$O(n)$	$O(n)$
insert(x)	$O(lgn)$	$O(1)$
delete-key(k)	$O(lgn)$	$O(1)$
delete-min/max()	$O(lgn)$	$O(1)$
find-next/prev(k)	$O(lgn)$	$O(1)$
find-min/max()	$O(lgn)$	$O(1)$
order-iter()	$O(n)$	$O(1)$

从 Find/Search 谈起

One Linked List

图 1 - One Linked List

当我们有一个 Linked List 时，Search 操作在最差情况下的复杂度为 $θ(n)$ ，我们有什么方式能够提高它的速度呢？

Two Linked Lists

快速公交系统（BRT）与普通公交系统的区别在于：普通公交系统与其它私人交通工具共享车道且每站必停，而快速公交系统独享车道，且只经停部分公交站。那么假如我要从 A 地区 B 地（快速公交不可直达），就可以先从 A 开始乘坐快速公交到达离 B 最近的公交站，再乘坐普通公交到达 B。如果我们把 Search 操作比喻成这样的乘车过程，可以考虑使用两个 Linked Lists：

图 2 - Two Linked Lists

如图 2 所示，举例如下：

14 -> 59：14 -> 34 -> 42 -> 50 -> 59 14 -> 79：14 -> 34 -> 42 -> 72 -> 79

怎么设计快速公交系统的停靠站能使得公交系统的性能达到最大？直觉告诉我们，将快速公交的停靠站平均分布在普通公交停靠站上。那么这时候 Search 的成本为：

$$searchcost = |L_1| + \frac{|L_2|}{|L_1|}$$

求其最小值，可以得到：

$$|L1|^2 = |L2| = n => |L1| = \sqrt{n}$$

如此一来，Search 的成本就是：

$$|L_1| + \frac{|L_2|}{|L_1|} = \sqrt{n} + \frac{n}{\sqrt{n}} = 2\sqrt{n}$$

More Linked Lists

Number Of Linked Lists	Search Cost
2	$2\sqrt{n}$
3	$3\sqrt[3]{n}$
4	$4\sqrt[4]{n}$
...	...
$lgn$	$lgn\sqrt[lgn]{n} = 2lgn$

使用 $lgn$ 个 linked lists 时，已经很像一棵树，如 B 树。

Skip Lists

完美的 Skip Lists 就是由 $lgn$ 个 linked lists 构成的数据结构。

Insert(x)

从空的 Skp Lists 开始不断 Insert 元素，就构成了 Skip Lists 的创建过程。如何保证这个过程能够建立出接近完美的 Skip Lists 其实就是 Insert 的实现需要解决的问题。

方案：先用 search/find 找到元素在最底层的位置，将元素插入到最底层中，然后以 1/2 的概率决定是否将该元素插入到上面一层，递归重复。根据概率理论，平均来看 ---

• 1/2 的元素会被插入到上面 0 层

• 1/4 的元素会被插入到上面 1 层

• 1/8 的元素会被插入到上面 2 层

• ...（以此类推）

search 的时间复杂度为 $O(lgn)$ ，递归插入的时间复杂度同样为 $O(lgn)$ ，因此 insert 的总时间复杂度也为$O(lgn)$。

Delete(x)

Delete 需要先用 search/find 找到元素的位置，然后从所有可能存在该元素的链表中删除该元素，因此总时间复杂度为$O(lgn)$。

具体证明请查阅参考资料。

参考

lecture note, video