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Sorting&Aggregations

Sorting

Why Do We Need To Sort?

需要排序算法的原因:本质在于 tuples 在 table 中没有顺序,无论是用户还是 DBMS 本身,在处理某些任务时希望 tuples 能够按一定的顺序排列,如:
  • 若 tuples 已经排好序,去重操作将变得很容易(DISTINCT)
  • 批量将排好序的 tuples 插入到 B+ Tree index 中,速度更快
  • Aggregations (GROUP BY)

Algorithms

若数据能够放入内存中,我们可以使用标准排序算法搞定,如快排;若数据无法放入内存中,就得考虑数据在 disk 与 memory 中移动的成本,以及排序算法的适配。

External Merge Sort

外部排序通常有两个步骤:
  • Sorting Phase:将数据分成多个 chunks,每个 chunk 可以完全读入到 memory 中,在 memory 中排好序后再写回到 disk 中
  • Merge Phase:将多个子文件合并成一个大文件

2-Way External Merge Sort

以下是 2-way external merge sort 的一个简单例子,假设:
  • Files 本分成 N 个 pages
  • DBMS 有 B 个 fixed-size buffers
Pass #0
  • 从 table 中读入 B pages tuples
  • 将这些 tuples 排序后写会到 disk 中
  • 每一轮成为一个 run
Pass #1,2,3,...
  • 递归地将一对 runs 合并成一个两倍长度的 run
  • 这一操作值需要 3 个 buffer pages ( 2 个用于输入,1个用于输出)
完整过程如下图所示:
复杂度:
  • number of passes:
    1+ceil(log2N)1+ ceil(log_2{N})
  • cost/pass:I/O 成本为
    2N2N
    ,系数 2 表示读入 + 写出。
  • total cost:
    2N×(number of passes)2N \times (number \ of \ passes)
值得注意的是:
  • 这个算法只需要 3 个 buffer pages,B=3
  • 即使 DBMS 能够提供更多的 buffer pages(B>3),2-way external merge sort 也无法充分地利用它们
如何能够利用到更多的 buffer pages ?

General External Merge Sort

将以上的 2-way external merge sort 泛化成 N-Way 的形式:
Pass #0
  • 使用 B 个 buffer pages
  • 产生
    ceil(N/B)ceil(N/B)
    个大小为 B 的 sorted runs
Pass #1,2,3,...
  • 合并 B-1 runs
复杂度:
  • number of passes:
    1+ceil(logB1ceil(N/B))1 + ceil(log_{B-1}{ceil(N/B)})
  • cost/pass:
    2N2N
  • total cost:
    2N×(number of passes)2N\times(number \ of \ passes)

实例:Sort 108 pages file with 5 buffer pages:N = 108, B = 5

  • Pass #0:
    ceil(108/5)=22ceil(108/5) = 22
    sorted runs of 5 pages each
  • Pass #1:
    ceil(22/4)=6ceil(22/4) = 6
    sorted runs of 20 pages each
  • Pass #2:
    ceil(6/4)=2ceil(6/4) = 2
    sorted runs of 80 pages and 28 pages each
  • Pass #3: sorted file of 108 pages
一共有
1+ceil(logB1ceil(N/B))=1+ceil(log422)=4 passes1+ceil(log_{B-1}{ceil(N/B)}) = 1+ceil(log_4{22}) = 4 \ passes

Using B+ Trees

如果被排序的表在对应的 attribute(s) 上已经建有索引,我们就可以用它来加速排序的过程,按照目标顺序遍历 B+ Tree 的 leaf pages 即可,但这里要注意有两种情况:
  • Clustered B+ Tree
  • Unclustered B+ Tree
case 1: Clustered B+ Tree
这种情况永远由于 external sorting。
case 2: Unclustered B+ Tree
这是最糟糕的情况,因为获取每个 data record 的过程都可能需要一次 I/O。

Aggregations

aggregation 就是对一组 tuples 的某些值做统计,转化成一个标量,如平均值、最大值、最小值等,aggregation 的实现通常有两种方案:
  • Sorting
  • Hashing

Sorting Aggregation

但很多时候我们并不需要排好序的数据,如:
  • Forming groups in GROUP BY
  • Removing duplicates in DISTINCT
在这样的场景下 hashing 是更好的选择,它能有效减少排序所需的额外工作。

Hashing Aggregation

利用一个临时 (ephemeral) 的 hash table 来记录必要的信息,即检查 hash table 中是否存在已经记录过的元素并作出相应操作:
  • DISTINCT: Discard duplicate
  • GROUP BY: Perform aggregate computation
如果所有信息都能一次性读入内存,那事情就很简单了,但如若不然,我们就得变得更聪明。
hashing aggregation 同样分成两步:
  • Partition Phase: 将 tuples 根据 hash key 放入不同的 buckets
    • use a hash function h1 to split tuples into partitions on disk
      • all matches live in the same partition
      • partitions are "spilled" to disk via output buffers
    • 这里有个额外的假设,即每个 partition 能够被放到 memory 中
  • ReHash Phase: 在内存中针对每个 partition 利用 hash table 计算 aggregation 的结果
如下图所示:
在 ReHash phase 中,存着
(GroupKeyRunningVal)(GroupKey \rightarrow RunningVal)
的键值对,当我们需要向 hash table 中插入新的 tuple 时:
  • 如果我们发现相应的 GroupKey 已经在内存中,只需要更新 RunningVal 就可以
  • 反之,则插入新的 GroupKey 到 RunningVal 的键值对

Cost Analysis

使用 hashing aggregation 可以聚合多大的 table ?假设有 B 个 buffer pages
  • Phase #1:使用 1 个 page 读数据,B-1 个 page 写出 B-1 个 partition 的数据
  • 每个 partition 的数据应当小于 B 个 pages
因此能够聚合的 table 最大为
B×(B1)B \times (B-1)
  • 通常一个大小为 N pages 的 table 需要大约
    N\sqrt{N}
    个 buffer pages

参考

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