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Weighted Shortest Paths

引言

在进入 Weighted Shortest Paths 问题之前,先回忆一下 Unweighted Shortest Paths 问题,事实上,后者可以理解为前者的一个特例 --- 每条边的权重为相同的正数。

最短路径问题(Shortest-paths Problems)

最短路径问题实际上由一组相互关联的问题组成:
  • single-pair:找到图中两点之间的最短路径:
    δ(s,t)δ(s, t)
  • single-source:找到从图中某一点 s 出发到达图中所有其它点的最短路径,
    δ(s,t)δ(s, t)
    for all
    vVv \in{V}
    ;即以 s 为根节点的最短路径树(shortest-path tree)。
  • all-pairs:找到图中任意两点的最短路径:
    δ(s,t)δ(s, t)
    for all
    u,vVu, v \in{V}

权重

即使图中的两点之间存在路径,这两点之间也可能不存在最短路径!--- 图中存在负权重环(negative-weight cycle)

现实意义

最短路径问题是极具现实意义的问题:
  • 地图导航
  • 网络路由
大多数现实问题中,不同路径的成本通常不同,因此可以被抽象为 Weighted-shortest-paths Problems。

特点

  • Subpath Property:最短路径的任意子路径也是最短路径(如何证明?)
  • Tree Property:从图中某点 s 出发到达图中其它所有可达点的路径恰好组成以 s 为根节点的树 T

算法框架

  1. 1.
    初始化:
    d={s:0,rest:}d = \{ s: 0, rest: ∞ \}
    ,
    parent={s:s}parent = \{s: s\}
  2. 2.
    选择一条边
    (u,v)E(u, v) \in{E}
  3. 3.
    relax
    (u,v)(u, v)
    (具体见下文)
  4. 4.
    重复步骤 2, 3 直到没有 relaxation 发生为止
Relaxation
if d[v] > d[u] + w(u, v):
d[v] = d[u] + w(u, v)
parent[v] = u
relaxation:当前的解还不满足某些要求,尝试去修复解中不满足要求的部分
算法复杂度与 relaxation 的次数相关:
  • 当图中存在 negative-weight cycle 时,将出现无限次 relaxation
  • 使用暴力解法时,relaxation 次数通常呈现指数增长,如图 1 所示:
图 1 - exponential growth in DAG
因此各种最短路径算法实际是在尝试减少 relaxation 次数的方法。

算法证明

  1. 1.
    Safety Lemma: relax
    (u,v)(u, v)
    maintains invariant
    d[v]δ(s,v)d[v] \geqslant δ(s, v)
  2. 2.
    Termination Lemma: if no edge can be relaxed, then
    d[v]=δ(s,v)d[v] = δ(s, v)
    for all
    vVv \in {V}

有向无环图中的单起点最短路径问题(DAG-SSSP)

遇到 DAG 时,拓扑排序一定是个好主意,它可以找到图中个点的路径依赖关系。因此就有如下算法:
initialize
topologically_sort(G) # O(V+E)
for u in V: # 以拓扑排序的顺序遍历 O(V+E)
for v in Adj[u]:
relax(u, v)
正确性:设 A 为 S 到 T 的最短路径上的一点,按照拓扑顺序,在访问 A 之前,所有存在指向 A 路径的节点都已经被访问,因此从 S 到 A 的最短路径已经找出,依次类推。

有环图的单起点最短路径问题

当图中存在环,甚至负权重环时,SSSP 将面临更大的挑战,可能存在
δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞
的情况,这种情况下,我们希望算法如何输出?
  • 版本1:检测出是否有负权重环,如果存在则认为输入错误
  • 版本2:找到所有满足
    δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞
    的节点
  • 版本3:找到其中一个负权重环
Bellmand-Ford 算法实现很简单,重复
V1|V| - 1
轮 relaxation 操作,每轮都遍历并 relax 图上的所有边:
initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u, v) in G:
relax(u, v)
handle negative weight cycles somehow
return parent, d
正确性
参考 course note, 关键在于想明白:经过 i 轮 relaxation 操作后,所有节点数为 i 的最短路径都被找到。同样的证明可以应用到 DAP-SSSP 问题中去。
时间复杂度
OV×EO(|V|\times|E|)
仔细推算,实际上是
O(VE+V2)O(|V||E| + |V|^2)

版本1:检测负权重环是否存在

完成
V1|V|-1
轮 relaxation 操作后,检测任何边是否仍然可以 relax,如果可以,就判断存在负权重环:
initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u, v) in G:
relax(u, v)
# Now check for neg-weight cycles
for edge(u, v) in G:
if d[v] > d[u] + w(u, v):
raise ValueError("There's a neg-weight cycle reachable from s!!!")
return parent, d
正确性:
根据刚才的推理,在第
V|V|
轮应当找到节点数为
V|V|
的最短路径,但不出现重复点的最短路径最多只能包含
V1|V|-1
个节点。
时间复杂度:
最后检测操作复杂度为
O(E)O(|E|)
,总体仍然为
O(VE)O(|V||E|)

版本2:找到所有
δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞
的节点

完成
V1|V|-1
轮 relaxation 操作后,搜集所有可以 relax 的节点组成集合 N,N = { v | some edge (u, v) is relaxable} ,所有从 N 中的节点出发能到达的节点最短路径都为
-∞
initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u,v) in G:
relax(u,v)
# Now find verts with delta = -inf
N = {}
for edge(u,v) in G:
if d[v] > d[u] + w(u,v):
N.insert(v)
for v in multi_source_search(N):
d[v] = -math.infinity
parent[v] = None
return parent, d
其中 multi_source_search() 有多种实现方式:如 BFS,DFS 等等
正确性证明略,时间复杂度同上。

版本3:找到一个负权重环

无负权重边的单起点最短路径问题

如果我们能够保证图中所有边的权重 w > 0,那么我们可以做得比 Bellman Ford 更好,即优于
O(VEO(|V||E|)
。Dijkstra 算法能实现
O(E+VlogV)O(|E| + |V|log|V|)
的时间复杂度。

Dijkstra 的核心思想

从起点出发,向外有选择地拓宽边界,同时保证
  • 在边界内的点都已经找到了最短路径
  • 在边界外的点都已经找到只经过边界内的点可达的最短路径
Srini Devadas 在课堂上给出的 demo 非常震撼:如图 2 所示:他将一个图具象化为用线相连的球,线的长短表示图中边缘的权重,然后提起其中一只球 A,由于重力的原因,离球 A 最近的球 B 会先到达最低点,同时它们之间的线处于紧绷状态,而离球 A 第二近的球 C 会第二个到达最低点,它的最短路径上的线也会处于紧绷状态,如图 3 所示。如果用慢镜头来看,将可以看到每个球按顺序陆续达到最低点,及边界范围逐渐扩大的过程。用物理来解释算法,非常震撼!
图 2 - Dijkstra's Algorithm Demo Setup
图 3 - Dijkstra's Algorithm Demo Show

Dijkstra 算法实现

def dijkstra_sssp(Adj, w, s):
parent = {}
parent[s] = s
d = [math.inf] * len(Adj)
d[s] = 0
Q = PriorityQueue.build(Item(id=u, key=d[u]) for u in Adj)
while len(Q) > 0:
u = Q.delete_min().id
for v in Adj[u]:
if d[v] > d[u] + w(u,v):
d[v] = d[u] + w(u,v)
parent[v] = u
Q.decrease_key(id=v, new_key=d[v])
return d, parent
时间复杂度的计算方式与之前相同,但具体的数值取决于 PriorityQueue 的实现:
Priority Queue
build
del_min
dec_key
Total
DAA Heap
VV
VV
1
V2V^2
Hash Table Heap
VV
ex.
VV
ex.
1 ex.
V2V^2
ex.
Binary Heap
VV
logVlogV
logVlogV
(V+E)logV(V+E)logV
Fibonacci Heap
VV
logVlogV
am.
1 am.
E+VlogVE+VlogV
  • Fibonacci Heap Asymptotically 优于其它三种 Heap
  • 在实践中,通常 Binary Heaps 要更快一些

Dijkstra 算法证明

略,请参考 course note。证明围绕 loop invariant 展开:
  • For each node
    uBu \in{B}
    d[u]=δ(s,u)d[u] = \delta(s,u)
  • For each node
    vBv \notin{B}
    ,its key
    d[u]d[u]
    in Q equals the minimum weight of an s-v path that only visits nodes in B except for v
其中 B 为 bound。

Single Pair Search: Compute a single δ(s,t)

具体参考 course note。核心思想:从 s, t 同时运行 Dijkstra's Algorithm。当二者的边界出现交集时,从交集中找到最短路径。