Weighted Shortest Paths

引言

在进入 Weighted Shortest Paths 问题之前，先回忆一下 Unweighted Shortest Paths 问题，事实上，后者可以理解为前者的一个特例 --- 每条边的权重为相同的正数。

最短路径问题（Shortest-paths Problems）

最短路径问题实际上由一组相互关联的问题组成：

• single-pair：找到图中两点之间的最短路径：$δ(s, t)$
• single-source：找到从图中某一点 s 出发到达图中所有其它点的最短路径，$δ(s, t)$ for all $v \in{V}$ ；即以 s 为根节点的最短路径树（shortest-path tree)。
• all-pairs：找到图中任意两点的最短路径：$δ(s, t)$ for all $u, v \in{V}$

权重

即使图中的两点之间存在路径，这两点之间也可能不存在最短路径！--- 图中存在负权重环（negative-weight cycle）

现实意义

最短路径问题是极具现实意义的问题：

• 地图导航

• 网络路由

大多数现实问题中，不同路径的成本通常不同，因此可以被抽象为 Weighted-shortest-paths Problems。

特点

• Subpath Property：最短路径的任意子路径也是最短路径（如何证明？）

• Tree Property：从图中某点 s 出发到达图中其它所有可达点的路径恰好组成以 s 为根节点的树 T

算法框架

1. 初始化： $d = \{ s: 0, rest: ∞ \}$ , $parent = \{s: s\}$
2. 选择一条边 $(u, v) \in{E}$
3. relax $(u, v)$ (具体见下文)
4. 重复步骤 2, 3 直到没有 relaxation 发生为止

Relaxation

if d[v] > d[u] + w(u, v):
    d[v] = d[u] + w(u, v)
    parent[v] = u

relaxation：当前的解还不满足某些要求，尝试去修复解中不满足要求的部分

算法复杂度与 relaxation 的次数相关：

• 当图中存在 negative-weight cycle 时，将出现无限次 relaxation

• 使用暴力解法时，relaxation 次数通常呈现指数增长，如图 1 所示：

图 1 - exponential growth in DAG

因此各种最短路径算法实际是在尝试减少 relaxation 次数的方法。

算法证明

1. Safety Lemma: relax $(u, v)$ maintains invariant $d[v] \geqslant δ(s, v)$
2. Termination Lemma: if no edge can be relaxed, then $d[v] = δ(s, v)$ for all $v \in {V}$

有向无环图中的单起点最短路径问题（DAG-SSSP）

遇到 DAG 时，拓扑排序一定是个好主意，它可以找到图中个点的路径依赖关系。因此就有如下算法：

initialize
topologically_sort(G)   # O(V+E)
for u in V:             # 以拓扑排序的顺序遍历 O(V+E)
    for v in Adj[u]:
        relax(u, v)

正确性：设 A 为 S 到 T 的最短路径上的一点，按照拓扑顺序，在访问 A 之前，所有存在指向 A 路径的节点都已经被访问，因此从 S 到 A 的最短路径已经找出，依次类推。

有环图的单起点最短路径问题

当图中存在环，甚至负权重环时，SSSP 将面临更大的挑战，可能存在 $\delta(s, v) = -∞$ 的情况，这种情况下，我们希望算法如何输出？

• 版本1：检测出是否有负权重环，如果存在则认为输入错误

• 版本2：找到所有满足 $\delta(s, v) = -∞$ 的节点
• 版本3：找到其中一个负权重环

Bellmand-Ford 算法实现很简单，重复 $|V| - 1$ 轮 relaxation 操作，每轮都遍历并 relax 图上的所有边：

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
    for edge(u, v) in G:
        relax(u, v)
handle negative weight cycles somehow
return parent, d

正确性：

参考 course note, 关键在于想明白：经过 i 轮 relaxation 操作后，所有节点数为 i 的最短路径都被找到。同样的证明可以应用到 DAP-SSSP 问题中去。

时间复杂度： $O（|V|\times|E|）$

仔细推算，实际上是 $O(|V||E| + |V|^2)$

版本1：检测负权重环是否存在

完成 $|V|-1$ 轮 relaxation 操作后，检测任何边是否仍然可以 relax，如果可以，就判断存在负权重环：

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
    for edge(u, v) in G:
        relax(u, v)
# Now check for neg-weight cycles
for edge(u, v) in G:
    if d[v] > d[u] + w(u, v):
        raise ValueError("There's a neg-weight cycle reachable from s!!!")
return parent, d

正确性：

根据刚才的推理，在第 $|V|$ 轮应当找到节点数为 $|V|$ 的最短路径，但不出现重复点的最短路径最多只能包含 $|V|-1$ 个节点。

时间复杂度：

最后检测操作复杂度为 $O(|E|)$ ，总体仍然为 $O(|V||E|)$

版本2：找到所有 $\delta(s, v) = -∞$ 的节点

完成 $|V|-1$ 轮 relaxation 操作后，搜集所有可以 relax 的节点组成集合 N，N = { v | some edge (u, v) is relaxable} ，所有从 N 中的节点出发能到达的节点最短路径都为 $-∞$

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
    for edge(u,v) in G:
        relax(u,v)

# Now find verts with delta = -inf
N = {}
for edge(u,v) in G:
    if d[v] > d[u] + w(u,v):
        N.insert(v)
for v in multi_source_search(N):
    d[v] = -math.infinity
    parent[v] = None
return parent, d

其中 multi_source_search() 有多种实现方式：如 BFS，DFS 等等

正确性证明略，时间复杂度同上。

版本3：找到一个负权重环

无负权重边的单起点最短路径问题

如果我们能够保证图中所有边的权重 w > 0，那么我们可以做得比 Bellman Ford 更好，即优于 $O(|V||E|）$。Dijkstra 算法能实现 $O(|E| + |V|log|V|)$ 的时间复杂度。

Dijkstra 的核心思想

从起点出发，向外有选择地拓宽边界，同时保证

• 在边界内的点都已经找到了最短路径

• 在边界外的点都已经找到只经过边界内的点可达的最短路径

Srini Devadas 在课堂上给出的 demo 非常震撼：如图 2 所示：他将一个图具象化为用线相连的球，线的长短表示图中边缘的权重，然后提起其中一只球 A，由于重力的原因，离球 A 最近的球 B 会先到达最低点，同时它们之间的线处于紧绷状态，而离球 A 第二近的球 C 会第二个到达最低点，它的最短路径上的线也会处于紧绷状态，如图 3 所示。如果用慢镜头来看，将可以看到每个球按顺序陆续达到最低点，及边界范围逐渐扩大的过程。用物理来解释算法，非常震撼！

图 2 - Dijkstra's Algorithm Demo Setup

图 3 - Dijkstra's Algorithm Demo Show

Dijkstra 算法实现

def dijkstra_sssp(Adj, w, s):
    parent = {}
    parent[s] = s
    d = [math.inf] * len(Adj)
    d[s] = 0
    
    Q = PriorityQueue.build(Item(id=u, key=d[u]) for u in Adj)
    
    while len(Q) > 0:
        u = Q.delete_min().id
        for v in Adj[u]:
            if d[v] > d[u] + w(u,v):
                d[v] = d[u] + w(u,v)
                parent[v] = u
                Q.decrease_key(id=v, new_key=d[v])
    return d, parent

时间复杂度的计算方式与之前相同，但具体的数值取决于 PriorityQueue 的实现：

Priority Queue	build	del_min	dec_key	Total
DAA Heap	$V$	$V$	1	$V^2$
Hash Table Heap	$V$ ex.	$V$ ex.	1 ex.	$V^2$ ex.
Binary Heap	$V$	$logV$	$logV$	$(V+E)logV$
Fibonacci Heap	$V$	$logV$ am.	1 am.	$E+VlogV$

• Fibonacci Heap Asymptotically 优于其它三种 Heap

• 在实践中，通常 Binary Heaps 要更快一些

Dijkstra 算法证明

略，请参考 course note。证明围绕 loop invariant 展开:

• For each node $u \in{B}$ ， $d[u] = \delta(s,u)$
• For each node $v \notin{B}$ ，its key $d[u]$ in Q equals the minimum weight of an s-v path that only visits nodes in B except for v

其中 B 为 bound。

Single Pair Search: Compute a single δ(s,t)

具体参考 course note。核心思想：从 s, t 同时运行 Dijkstra's Algorithm。当二者的边界出现交集时，从交集中找到最短路径。