Weighted Shortest Paths

引言

在进入 Weighted Shortest Paths 问题之前,先回忆一下 Unweighted Shortest Paths 问题,事实上,后者可以理解为前者的一个特例 --- 每条边的权重为相同的正数。

最短路径问题(Shortest-paths Problems)

最短路径问题实际上由一组相互关联的问题组成:

  • single-pair:找到图中两点之间的最短路径:δ(s,t)δ(s, t)

  • single-source:找到从图中某一点 s 出发到达图中所有其它点的最短路径,δ(s,t)δ(s, t) for all vVv \in{V} ;即以 s 为根节点的最短路径树(shortest-path tree)。

  • all-pairs:找到图中任意两点的最短路径:δ(s,t)δ(s, t) for all u,vVu, v \in{V}

权重

即使图中的两点之间存在路径,这两点之间也可能不存在最短路径!--- 图中存在负权重环(negative-weight cycle)

现实意义

最短路径问题是极具现实意义的问题:

  • 地图导航

  • 网络路由

大多数现实问题中,不同路径的成本通常不同,因此可以被抽象为 Weighted-shortest-paths Problems。

特点

  • Subpath Property:最短路径的任意子路径也是最短路径(如何证明?)

  • Tree Property:从图中某点 s 出发到达图中其它所有可达点的路径恰好组成以 s 为根节点的树 T

算法框架

  1. 初始化: d={s:0,rest:}d = \{ s: 0, rest: ∞ \} , parent={s:s}parent = \{s: s\}

  2. 选择一条边 (u,v)E(u, v) \in{E}

  3. relax (u,v)(u, v) (具体见下文)

  4. 重复步骤 2, 3 直到没有 relaxation 发生为止

Relaxation

if d[v] > d[u] + w(u, v):
d[v] = d[u] + w(u, v)
parent[v] = u

relaxation:当前的解还不满足某些要求,尝试去修复解中不满足要求的部分

算法复杂度与 relaxation 的次数相关:

  • 当图中存在 negative-weight cycle 时,将出现无限次 relaxation

  • 使用暴力解法时,relaxation 次数通常呈现指数增长,如图 1 所示:

图 1 - exponential growth in DAG

因此各种最短路径算法实际是在尝试减少 relaxation 次数的方法。

算法证明

  1. Safety Lemma: relax (u,v)(u, v) maintains invariant d[v]δ(s,v)d[v] \geqslant δ(s, v)

  2. Termination Lemma: if no edge can be relaxed, then d[v]=δ(s,v)d[v] = δ(s, v) for all vVv \in {V}

有向无环图中的单起点最短路径问题(DAG-SSSP)

遇到 DAG 时,拓扑排序一定是个好主意,它可以找到图中个点的路径依赖关系。因此就有如下算法:

initialize
topologically_sort(G) # O(V+E)
for u in V: # 以拓扑排序的顺序遍历 O(V+E)
for v in Adj[u]:
relax(u, v)

正确性:设 A 为 S 到 T 的最短路径上的一点,按照拓扑顺序,在访问 A 之前,所有存在指向 A 路径的节点都已经被访问,因此从 S 到 A 的最短路径已经找出,依次类推。

有环图的单起点最短路径问题

当图中存在环,甚至负权重环时,SSSP 将面临更大的挑战,可能存在 δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞ 的情况,这种情况下,我们希望算法如何输出?

  • 版本1:检测出是否有负权重环,如果存在则认为输入错误

  • 版本2:找到所有满足 δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞ 的节点

  • 版本3:找到其中一个负权重环

Bellmand-Ford 算法实现很简单,重复 V1|V| - 1 轮 relaxation 操作,每轮都遍历并 relax 图上的所有边:

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u, v) in G:
relax(u, v)
handle negative weight cycles somehow
return parent, d

正确性

参考 course note, 关键在于想明白:经过 i 轮 relaxation 操作后,所有节点数为 i 的最短路径都被找到。同样的证明可以应用到 DAP-SSSP 问题中去。

时间复杂度OV×EO(|V|\times|E|)

仔细推算,实际上是 O(VE+V2)O(|V||E| + |V|^2)

版本1:检测负权重环是否存在

完成 V1|V|-1 轮 relaxation 操作后,检测任何边是否仍然可以 relax,如果可以,就判断存在负权重环:

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u, v) in G:
relax(u, v)
# Now check for neg-weight cycles
for edge(u, v) in G:
if d[v] > d[u] + w(u, v):
raise ValueError("There's a neg-weight cycle reachable from s!!!")
return parent, d

正确性:

根据刚才的推理,在第 V|V| 轮应当找到节点数为 V|V| 的最短路径,但不出现重复点的最短路径最多只能包含 V1|V|-1 个节点。

时间复杂度:

最后检测操作复杂度为 O(E)O(|E|) ,总体仍然为 O(VE)O(|V||E|)

版本2:找到所有 δ(s,v)=\delta(s, v) = -∞ 的节点

完成 V1|V|-1 轮 relaxation 操作后,搜集所有可以 relax 的节点组成集合 N,N = { v | some edge (u, v) is relaxable} ,所有从 N 中的节点出发能到达的节点最短路径都为 -∞

initialize parent and d arrays
for round in range(|V|-1):
for edge(u,v) in G:
relax(u,v)
# Now find verts with delta = -inf
N = {}
for edge(u,v) in G:
if d[v] > d[u] + w(u,v):
N.insert(v)
for v in multi_source_search(N):
d[v] = -math.infinity
parent[v] = None
return parent, d

其中 multi_source_search() 有多种实现方式:如 BFS,DFS 等等

正确性证明略,时间复杂度同上。

版本3:找到一个负权重环

无负权重边的单起点最短路径问题

如果我们能够保证图中所有边的权重 w > 0,那么我们可以做得比 Bellman Ford 更好,即优于 O(VEO(|V||E|)。Dijkstra 算法能实现 O(E+VlogV)O(|E| + |V|log|V|) 的时间复杂度。

Dijkstra 的核心思想

从起点出发,向外有选择地拓宽边界,同时保证

  • 在边界内的点都已经找到了最短路径

  • 在边界外的点都已经找到只经过边界内的点可达的最短路径

Srini Devadas 在课堂上给出的 demo 非常震撼:如图 2 所示:他将一个图具象化为用线相连的球,线的长短表示图中边缘的权重,然后提起其中一只球 A,由于重力的原因,离球 A 最近的球 B 会先到达最低点,同时它们之间的线处于紧绷状态,而离球 A 第二近的球 C 会第二个到达最低点,它的最短路径上的线也会处于紧绷状态,如图 3 所示。如果用慢镜头来看,将可以看到每个球按顺序陆续达到最低点,及边界范围逐渐扩大的过程。用物理来解释算法,非常震撼!

图 2 - Dijkstra's Algorithm Demo Setup
图 3 - Dijkstra's Algorithm Demo Show

Dijkstra 算法实现

def dijkstra_sssp(Adj, w, s):
parent = {}
parent[s] = s
d = [math.inf] * len(Adj)
d[s] = 0
Q = PriorityQueue.build(Item(id=u, key=d[u]) for u in Adj)
while len(Q) > 0:
u = Q.delete_min().id
for v in Adj[u]:
if d[v] > d[u] + w(u,v):
d[v] = d[u] + w(u,v)
parent[v] = u
Q.decrease_key(id=v, new_key=d[v])
return d, parent

时间复杂度的计算方式与之前相同,但具体的数值取决于 PriorityQueue 的实现:

Priority Queue

build

del_min

dec_key

Total

DAA Heap

VV

VV

1

V2V^2

Hash Table Heap

VV ex.

VV ex.

1 ex.

V2V^2 ex.

Binary Heap

VV

logVlogV

logVlogV

(V+E)logV(V+E)logV

Fibonacci Heap

VV

logVlogV am.

1 am.

E+VlogVE+VlogV

  • Fibonacci Heap Asymptotically 优于其它三种 Heap

  • 在实践中,通常 Binary Heaps 要更快一些

Dijkstra 算法证明

略,请参考 course note。证明围绕 loop invariant 展开:

  • For each node uBu \in{B}d[u]=δ(s,u)d[u] = \delta(s,u)

  • For each node vBv \notin{B} ,its key d[u]d[u] in Q equals the minimum weight of an s-v path that only visits nodes in B except for v

其中 B 为 bound。

Single Pair Search: Compute a single δ(s,t)

具体参考 course note。核心思想:从 s, t 同时运行 Dijkstra's Algorithm。当二者的边界出现交集时,从交集中找到最短路径。